Nighthawk.dk

L'Hôpitals Regel

Skrevet d. 18. Jan. 2011 af Claus Nielsen.

En hurtig forklaring af l'Hôpitals regel til beregning af grænseværdier, samt et eksempel.

Reglen siger følgende: Når der for en brøk \(p(x)/q(x)\) tilsyneladende gælder, at \( p(a)/q(a) = 0/0\) eller \(p(a)/q(a)= \infty / \infty \), så kan grænseværdien findes som:

\begin{equation} \lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to a} \frac{p'(x)}{q'(x)} \end{equation}

Et eksempel:

\begin{equation} f(x) = \frac{3e^{2x} - 6x - 3}{1 - \cos(x)} \end{equation}

Her kunne man tro, at f(0) = 0/0, men i stedet anvendes l’Hôpitals regel:

\begin{equation} f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{2x} - 6x - 3}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{6e^{2x} - 6}{\sin(x)} \end{equation}

Her ser det igen ud til at man får 0/0, så l’Hôpitals regel må anvendes endnu en gang:

\begin{equation} f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{2x} - 6x - 3}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{6e^{2x} - 6}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{12e^{2x}}{\cos(x)} = \frac{12}{\cos(0)} = 12 \end{equation}

Altså er grænseværdien f(0) = 12.

Emner