Hvad er Komplekse Tal
For at forstå, hvad komplekse tal er, vil vi først se på hvilke forskellige slags tal vi kender i forvejen. Først og fremmest har vi jo de naturlige tal, mængden
Så længe vi bare vil lægge/gange tal sammen, er svaret nej, men hvis vi f.eks. skal løse ligningen
Hvis vi i stedet for de naturlige tal,
Og denne gang virker det mere relevant at spørge sig selv, om vi behøver flere tal? Hvis man svarer nej, så får man et problem med følgende ligning:
Som man hurtigt opdager, kan denne ligning ikke løses med reelle tal (man kan ikke tage kvadratroden til et negativt tal), og derfor kommer de komplekse tal, mængden
Vi kan nu anvende denne definition til at løse ligningen ovenfor:
På denne måde kunne vi løse ligningen, helt uden at tage kvadratroden til et negativt tal. Bemærk at vi ikke skriver
Hvor
Regning med Komplekse Tal
Hvis man er god til simpel algebra, er regning med komplekse tal ingen udfordring - man behandler den imaginære enhed,
Og vi kan naturligvis også gange to komplekse tal sammen:
Altså bliver
Man kan naturligvis også dividere tallene:
Her har vi benyttet følgende egenskab ved den imaginære enhed:
Man kan altså regne med komplekse tal vha. ganske almindelig algebra.
Det Komplekse Plan og Polærform
Vi er vant til, at vi kan afsætte tal på en tallinie, men for komplekse tal er det anderledes - nu har vi to tallinier (en for realdelen og en for imaginærdelen), som står vinkelret på hinanden, således at de danner et komplekst plan. Her ses en række tal afsat på det komplekse plan:
Førsteaksen kaldes den reelle akse og andenaksen den imaginære akse. Vi kan desuden se ud fra dette, at komplekse tal minder meget om vektorere i planen.
Ud fra dette kan vi desuden også se, at et komplekst tal kan beskrives vha. en vinkel og en længde, dvs. på formen:
Denne form kaldes polærformen for et komplekst tal, og længden
Vi finder modulus af et tal ved at gange tallet med sin komplekst konjugerede, og dernæst tage kvadratroden. Den komplekst konjugerede til et tal, er blot det samme tal med modsat fortegn på imaginærdelen - dette svarer til at spejle tallet i den reelle akse i det komplekse plan (bemærk desuden, at den komplekst konjugerede til et reelt tal er tallet selv). Har vi f.eks.
Når vi skal finde argumentet,
Her angiver
Argumentet,
Lad os tage et eksempel med
Det kan, som vi skal se, nogle gange være en fordel at have et komplekst tal på polærform, frem for den normale, kartesiske form.
Den Komplekse Eksponentialfunktion
Når vi snakker komplekse tal, er eksponentialfunktionen meget vigtig. Den er for et komplekst tal,
Heraf kan vi altså se, at
Altså en meget nemmere måde at opskrive et tal på! Vi kan desuden opskrive sinus og cosinus som funktion af komplekse eksponentialfunktioner:
Disse ligninger kan bl.a. anvendes til at udlede forskellige regneregler for sinus og cosinus.
De Moivres Sætning
En vigtig sætning der bør nævnes, er de Moivres sætning:
Dette er altså helt trivielt hvis blot man kan sine potensregneregler, men det er ikke desto mindre en vigtig sætning. Vi kan eksempelvis anvende den til at finde kvadratroden af tallet
Dette er altså et eksempel på, at polærformen kan være nyttig (og resultatet er desuden pænest i polær form!).
Anvendelser af Komplekse Tal
Nu har vi efterhånden styr på de komplekse tal, men hvad kan vi så bruge dem til? Vi kan f.eks. se på Hookes lov fra fysikken, der siger, at kraften fra en fjeder er givet ved
Du har måske allerede lært i fysik, at f.eks.
For at vise et eksempel på anvendelsen, kan vi udlede en regneregl for cosinus:
På samme måde kan mange andre regneregler udledes.